國中的時候，我總以為設未知數是一件再簡單也不過的事情，就是設一個未知數，然後再解出來就知道他是誰了，對我而言並沒有什麼難的。
然而，在我念大學時，學了越多代數之後，越發現其實設未知數並不是一件簡單的事情，第一次有這種感受是我在某一天突然發現我根本就不知道虛數是什麼，我們只是說x2=−1的解就是i=√−1，但是事實上我們根本就不知道i是否存在？在學了哲學之後的我開始注意事物的存在與否，我發現我似乎毫無理由相信i是存在的，我因此感到困惑，這種感受是我國高中時從來沒有的，我國高中時就無緣無故地相信他就在那裡。
第二次更深刻的震撼是在我學到體論(field theory)的時候，老師用多項式環來定義√2是什麼，印象中那一次上代數課的時候我完全無法理解為什麼要這麼做，我以為√2不是清晰自明的畫在數線上嗎？為什麼我們還需要定義√2是什麼？接著我想起了我之前對i的經驗，才突然明白我們小時候也同樣以為我們知道√2是什麼，但是我們根本就不知道。你看√2這個符號的定義就是2的正平方根，我們就是假設這個東西存在但是我們從來就不知道他是不是真的存在。
我們從來就沒有理由相信x2=2是有解的，除非我們能夠接受數線上每一個點都能夠代表一個存在的數，因而√2可以用尺規作圖畫在數線上。否則單純從數的觀點我們很難接受√2是存在的，因為√2和我們熟悉的有理數是多麼的遙遠，以至於我們會開始質疑√2是否能夠被看做一個數？
上面充滿懷疑的段落也許在讀者眼中看起來是無病呻吟，但是如果你們真的能夠仔細想一下，就會發現我們其實並不夠了解√2，我們在生活中很少看到√2這個數，他看似也只在理想的數線當中存在。也許這就是古希臘時期，希伯索斯會被畢達哥拉斯學派丟入海中，√2是否存在的問題深深的撼動了畢達哥拉斯學派「萬物即數」的概念，儘管√2的發現並沒有真的撼動「萬物即數」這個教條而是撼動了人們對於「數」的概念。
我們不禁想問，我們真的了解「數」嗎？我們常常會說正整數、有理數、無理數，甚至是虛數，但是我們真的足夠了解他們嗎？我們了解他們是否存在亦或是如何存在嗎？仔細想想我們才發現我們其實並不是真正的瞭解這些數，然而在我們生活中無時無刻都在使用這些數：便當的價錢、紅燈的秒數、建築的計算、科技產品的設計，也許「萬物即數」是對的，然而我們卻從來都無法看清這些數的真面目。
但是以代數學的立場而言，這些數是否存在並不重要，代數(algebra)這個詞代表的是一個阿拉伯數學家花剌子模解方程式的方法，為什麼解方程式的方法可以用來代稱代數學這個廣大的領域呢？現在的代數學大抵來說包含群論、環論、體論，這些領域當中都有非常非常多的主題，各式各樣一般人無法理解的「數」都充斥在其中。事實上，這些數都能夠被稱作一些「未知數」，我們知道他們在運算上有什麼性質，然而我們並不認識他們、並不知道他們是誰，然而他們卻能夠在代數學的領域當中活躍。在這裡我們終於明白，為什麼「未知數」能夠貫穿整個代數學，因為他背後有一個非常非常深刻的哲學思想：我們可以對我們不知道是否存在的數作運算。
當我那一次問老師為什麼要定義√2之後，我仔細思考了為什麼我們可以針對一個我們不知道是誰的數作運算。我們做的事情是這樣：我們給這個不知道的數一個名字，然後我們就假裝知道他是誰，可以把他當成已知數來算。這種假裝未知數成已知數的方法，國中時在我眼中是雕蟲小技，大學的我在想清楚這件事情時非常興奮，我剎那間突然明白代數學是用多麼聰明的方式在處理「數」。
讀者可能不是很了解為什麼我會這麼驚奇，我們可以透過「米諾的悖論」(Meno’s paradox)來了解代數學到底解決了什麼哲學問題：
米諾的悖論說的是米諾與蘇格拉底辯論的故事，蘇格拉底習慣用蘇格拉底對話法來澄清一個概念，例如：正義、美、愛……他會希望與他辯論的人先提出一個定義，接著透過不斷否決與修正這個定義的方式觸及這個概念真正的本質，可想而知，跟蘇格拉底對話的人一定會覺得他很龜毛。
有一次倒楣的米諾遇到了蘇格拉底，他們對話了一陣子，蘇格拉底否決了幾次米諾的定義之後，米諾就惱羞成怒了，因為對於蘇格拉底問的問題，蘇格拉底本人也沒有答案，米諾覺得這樣討論下去根本一點意義都沒有，於是他提出了米諾的悖論，意圖說明蘇格拉底根本就不可能問出他所要的定義，他的論證如下：
「如果你已經知道x是什麼，那麼你就不會問他是什麼；
如果你不知道x是什麼，那麼你就不會知道x具有什麼性質，因此你就不可能回答x是什麼。」
也就是說，如果兩個人要去採金礦，卻沒有看過真正的金子，就算真正的金子出現在眼前我們也無法認出來，甚至有可能誤把假的東西想成是金子。因此，如果我們根本就不知道「正義」是什麼，我們怎麼有可能知道正義具有什麼性質呢？
當然，蘇格拉底並不會同意米諾的想法，他認為我們並非「完全」不知道x是什麼，只是我們對於x是什麼不夠清晰，因此透過蘇格拉底對話法可以讓不清晰的概念變得清晰。因此，蘇格拉底會認為不知道x是什麼只會不知道x「全部的」性質(例如不知道他如何存在，這邊不討論存在到底是不是一個性質)，卻不代表不知道x的任何一個性質。
這個哲學的悖論與代數學有什麼關係呢？事實上我認為代數學所面臨的問題就跟蘇格拉底面對的問題是一樣的，在數學上，我們談√2、談i，但是我們根本就還不知道他是什麼，根據米諾的悖論，如果我們不知道他是什麼，我們怎麼可能能夠談這些數具有什麼性質呢？然而根據蘇格拉底的看法，就算我們沒有辦法完全了解√2，我們還是可以談他，並且透過不斷透過「對話」談論「√2是什麼」可以越來越清楚√2的性質，也可以越來越接近x的本質。在數學上蘇格拉底是對的，因為當我們能夠以分析的、代數的、幾何的方法去明白√2是什麼的時候，我們就越來越清楚√2是誰，縱使我們目前無法知道他是如何存在的。
蘇格拉底對話法與代數的基本核心價值都是一樣的，當我們不斷的去談論我們所不知道的東西時，用理性辯論或是數學運算，能讓模糊的概念越來越清晰，或能揭開未知數面紗。因此，當人們開始有能力給未知的概念與未知的數一個名字，並且開始談論他們時，人類就不再被囚禁在已知的表象之中，理性獲得自由，而能夠探索未知的宇宙之書。
然而，在我念大學時，學了越多代數之後，越發現其實設未知數並不是一件簡單的事情，第一次有這種感受是我在某一天突然發現我根本就不知道虛數是什麼，我們只是說x2=−1的解就是i=√−1，但是事實上我們根本就不知道i是否存在？在學了哲學之後的我開始注意事物的存在與否，我發現我似乎毫無理由相信i是存在的，我因此感到困惑，這種感受是我國高中時從來沒有的，我國高中時就無緣無故地相信他就在那裡。
第二次更深刻的震撼是在我學到體論(field theory)的時候，老師用多項式環來定義√2是什麼，印象中那一次上代數課的時候我完全無法理解為什麼要這麼做，我以為√2不是清晰自明的畫在數線上嗎？為什麼我們還需要定義√2是什麼？接著我想起了我之前對i的經驗，才突然明白我們小時候也同樣以為我們知道√2是什麼，但是我們根本就不知道。你看√2這個符號的定義就是2的正平方根，我們就是假設這個東西存在但是我們從來就不知道他是不是真的存在。
我們從來就沒有理由相信x2=2是有解的，除非我們能夠接受數線上每一個點都能夠代表一個存在的數，因而√2可以用尺規作圖畫在數線上。否則單純從數的觀點我們很難接受√2是存在的，因為√2和我們熟悉的有理數是多麼的遙遠，以至於我們會開始質疑√2是否能夠被看做一個數？
上面充滿懷疑的段落也許在讀者眼中看起來是無病呻吟，但是如果你們真的能夠仔細想一下，就會發現我們其實並不夠了解√2，我們在生活中很少看到√2這個數，他看似也只在理想的數線當中存在。也許這就是古希臘時期，希伯索斯會被畢達哥拉斯學派丟入海中，√2是否存在的問題深深的撼動了畢達哥拉斯學派「萬物即數」的概念，儘管√2的發現並沒有真的撼動「萬物即數」這個教條而是撼動了人們對於「數」的概念。
我們不禁想問，我們真的了解「數」嗎？我們常常會說正整數、有理數、無理數，甚至是虛數，但是我們真的足夠了解他們嗎？我們了解他們是否存在亦或是如何存在嗎？仔細想想我們才發現我們其實並不是真正的瞭解這些數，然而在我們生活中無時無刻都在使用這些數：便當的價錢、紅燈的秒數、建築的計算、科技產品的設計，也許「萬物即數」是對的，然而我們卻從來都無法看清這些數的真面目。
但是以代數學的立場而言，這些數是否存在並不重要，代數(algebra)這個詞代表的是一個阿拉伯數學家花剌子模解方程式的方法，為什麼解方程式的方法可以用來代稱代數學這個廣大的領域呢？現在的代數學大抵來說包含群論、環論、體論，這些領域當中都有非常非常多的主題，各式各樣一般人無法理解的「數」都充斥在其中。事實上，這些數都能夠被稱作一些「未知數」，我們知道他們在運算上有什麼性質，然而我們並不認識他們、並不知道他們是誰，然而他們卻能夠在代數學的領域當中活躍。在這裡我們終於明白，為什麼「未知數」能夠貫穿整個代數學，因為他背後有一個非常非常深刻的哲學思想：我們可以對我們不知道是否存在的數作運算。
當我那一次問老師為什麼要定義√2之後，我仔細思考了為什麼我們可以針對一個我們不知道是誰的數作運算。我們做的事情是這樣：我們給這個不知道的數一個名字，然後我們就假裝知道他是誰，可以把他當成已知數來算。這種假裝未知數成已知數的方法，國中時在我眼中是雕蟲小技，大學的我在想清楚這件事情時非常興奮，我剎那間突然明白代數學是用多麼聰明的方式在處理「數」。
讀者可能不是很了解為什麼我會這麼驚奇，我們可以透過「米諾的悖論」(Meno’s paradox)來了解代數學到底解決了什麼哲學問題：
米諾的悖論說的是米諾與蘇格拉底辯論的故事，蘇格拉底習慣用蘇格拉底對話法來澄清一個概念，例如：正義、美、愛……他會希望與他辯論的人先提出一個定義，接著透過不斷否決與修正這個定義的方式觸及這個概念真正的本質，可想而知，跟蘇格拉底對話的人一定會覺得他很龜毛。
有一次倒楣的米諾遇到了蘇格拉底，他們對話了一陣子，蘇格拉底否決了幾次米諾的定義之後，米諾就惱羞成怒了，因為對於蘇格拉底問的問題，蘇格拉底本人也沒有答案，米諾覺得這樣討論下去根本一點意義都沒有，於是他提出了米諾的悖論，意圖說明蘇格拉底根本就不可能問出他所要的定義，他的論證如下：
「如果你已經知道x是什麼，那麼你就不會問他是什麼；
如果你不知道x是什麼，那麼你就不會知道x具有什麼性質，因此你就不可能回答x是什麼。」
也就是說，如果兩個人要去採金礦，卻沒有看過真正的金子，就算真正的金子出現在眼前我們也無法認出來，甚至有可能誤把假的東西想成是金子。因此，如果我們根本就不知道「正義」是什麼，我們怎麼有可能知道正義具有什麼性質呢？
當然，蘇格拉底並不會同意米諾的想法，他認為我們並非「完全」不知道x是什麼，只是我們對於x是什麼不夠清晰，因此透過蘇格拉底對話法可以讓不清晰的概念變得清晰。因此，蘇格拉底會認為不知道x是什麼只會不知道x「全部的」性質(例如不知道他如何存在，這邊不討論存在到底是不是一個性質)，卻不代表不知道x的任何一個性質。
這個哲學的悖論與代數學有什麼關係呢？事實上我認為代數學所面臨的問題就跟蘇格拉底面對的問題是一樣的，在數學上，我們談√2、談i，但是我們根本就還不知道他是什麼，根據米諾的悖論，如果我們不知道他是什麼，我們怎麼可能能夠談這些數具有什麼性質呢？然而根據蘇格拉底的看法，就算我們沒有辦法完全了解√2，我們還是可以談他，並且透過不斷透過「對話」談論「√2是什麼」可以越來越清楚√2的性質，也可以越來越接近x的本質。在數學上蘇格拉底是對的，因為當我們能夠以分析的、代數的、幾何的方法去明白√2是什麼的時候，我們就越來越清楚√2是誰，縱使我們目前無法知道他是如何存在的。
蘇格拉底對話法與代數的基本核心價值都是一樣的，當我們不斷的去談論我們所不知道的東西時，用理性辯論或是數學運算，能讓模糊的概念越來越清晰，或能揭開未知數面紗。因此，當人們開始有能力給未知的概念與未知的數一個名字，並且開始談論他們時，人類就不再被囚禁在已知的表象之中，理性獲得自由，而能夠探索未知的宇宙之書。
留言
張貼留言